Arithmétique élémentaire pour la formation des enseignants – Tome II : Les nombres rationnels

Dans la Mésopotamie et dans l’Égypte, premières sociétés dans lesquelles on retrouve des traces d’écritures, les fractions apparaissent dans le cadre de pratiques sociales de mesure, de partage et de distribution de biens matériels.

Chevallard (1989) souligne bien que : « le problème n’est pas le seul partage empirique de biens, tel que pourrait le réaliser un individu, ou une collectivité restreinte d’individus – dont l’action est première et se suffit à elle-même – mais une instance gestionnaire supérieure qui doit décider de ses modalités de partage, des procédures à suivre, avant même que l’action soit réalisée ».

Ainsi, disposer de savoirs arithmétiques concernant les fractions permet de calculer d’avance le résultat du partage (sans nécessiter de la réalisation effective du partage).Chez les Grecs, la notion de fraction apparaît dans le contexte des rapports et des proportions et n’est pas associée à un type de nombres qui est comparable aux nombres rationnels d’aujourd’hui.

Le développement des fractions se poursuit dans le cadre de la civilisation islamo-arabe et s’étend vers l’Europe médiévale à travers le commerce. Vers la fin du Moyen Âge, la théorie des rapports et proportions évolue vers une arithmétisation de ces concepts, ce qui favorise la réalisation de calculs et l’élaboration d’une arithmétique des fractions.

La théorie des proportions continue à avoir une place fondamentale dans le développement de l’algèbre de Viète (au XVIIe siècle) et les fractions y apparaissent liées à la division. Vers la fin du XVIe siècle, Stevin réussit à répandre l’usage des fractions décimales et des nombres décimaux, ce qui permet à Descartes, quelques années plus tard, d’asseoir son algèbre sur l’idée de mesure (Kibindigiri, 1995).

Dans ce texte, nous présenterons différents usages (internes ou externes aux mathématiques) des nombres rationnels, autant dans sa représentation fractionnaire que décimale, et leurs rapports avec d’autres concepts mathématiques pour lesquels ce type de nombre joue un rôle fondamental.